uva11796-Dog Distance-两点运动时的最短距离与最长距离

题意

甲和乙两条狗分别沿着不同的折线奔跑。两只狗的速度未知,但已知它们同时出发,同时到达,并且都是匀速奔跑。

你的任务是求出甲和乙在奔跑过程中的最远距离和最近距离的差。

分析

先将问题简化,甲和乙的路线是一条线段。 因为运动是相对的,所以可以把甲看做静止,这样问题就转化成了点到线段的最短距离与最长距离。

接下来要做的就是模拟整个过程。设现在甲的位置是Pa,刚经过编号为Sa的拐点; 乙同理。

那么我们只需要谁先到达拐点,在这个时间点之前的问题其实就是问题的简化版。

求解完后要分别更新甲和乙的位置,如果正好到达下一个拐点,还要更新Sa或Sb。

时间复杂度O(n)

代码

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// ybmj
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson (rt << 1)
#define rson (rt << 1 | 1)
#define lson_len (len - (len >> 1))
#define rson_len (len >> 1)
#define pb(x) push_back(x)
#define clr(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
#define first fi
#define second se
#define my_unique(a) a.resize(distance(a.begin(), unique(a.begin(), a.end())))
#define my_sort_unique(c) (sort(c.begin(), c.end())), my_unique(c)
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int NINF = 0xc0c0c0c0;
const int maxn = 100;
const double eps = 1e-10;
struct Point {
double x, y;
Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
};
typedef Point Vec;

Vec operator+(Vec A, Vec B) { return Vec(A.x + B.x, A.y + B.y); }
Vec operator-(Vec A, Vec B) { return Vec(A.x - B.x, A.y - B.y); }
Vec operator*(Vec A, double p) { return Vec(A.x * p, A.y * p); }
Vec operator/(Vec A, double p) { return Vec(A.x / p, A.y / p); }
bool operator<(const Point& a, const Point& b) {
return a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y);
}
int dcmp(double x) {
if (fabs(x) < eps)
return 0;
else
return x < 0 ? -1 : 1;
}
bool operator==(const Point& a, const Point& b) {
return dcmp(a.x - b.x) == 0 && dcmp(a.y - b.y) == 0;
}
double PolarAngle(Point A) { return atan2(A.y, A.x); } // 极角

double Dot(Vec A, Vec B) { return A.x * B.x + A.y * B.y; } // 点积
double Length(Vec A) { return sqrt(Dot(A, A)); } // 向量长度
double Angle(Vec A, Vec B) { // 两向量夹角
return acos(Dot(A, B) / Length(A) / Length(B));
}
double Cross(Vec A, Vec B) { return A.x * B.y - A.y * B.x; }
double DistanceToSegment(Point P, Point A, Point B) {
if (A == B) return Length(P - A);
Vec v1 = B - A, v2 = P - A, v3 = P - B;
if (dcmp(Dot(v1, v2)) < 0)
return Length(v2);
else if (dcmp(Dot(v1, v3)) > 0)
return Length(v3);
else
return fabs(Cross(v1, v2)) / Length(v1);
}
Point a[maxn], b[maxn];
double Min, Max;
void update(Point P, Point A, Point B) {
Min = min(Min, DistanceToSegment(P, A, B));
Max = max(Max, Length(P - A));
Max = max(Max, Length(P - B));
}
int main() {
// /*
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("1.in", "r", stdin);
freopen("1.out", "w", stdout);
#endif
// */
std::ios::sync_with_stdio(false);
int T, kase = 1;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
int A, B;
scanf("%d%d", &A, &B);
for (int i = 0; i < A; i++) scanf("%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y);
for (int i = 0; i < B; i++) scanf("%lf%lf", &b[i].x, &b[i].y);
double LenA = 0, LenB = 0;
for (int i = 0; i < A - 1; i++) LenA += Length(a[i + 1] - a[i]);
for (int i = 0; i < B - 1; i++) LenB += Length(b[i + 1] - b[i]);
int Sa = 0, Sb = 0;
Point Pa = a[0], Pb = b[0];
Min = 1e9, Max = 1e-9;
while (Sa < A - 1 && Sb < B - 1) {
double La = Length(a[Sa + 1] - Pa);
double Lb = Length(b[Sb + 1] - Pb);
double T = min(La / LenA, Lb / LenB); // 速度假设为LenA,LenB
Vec Va = (a[Sa + 1] - Pa) / La * T * LenA; // 位移向量
Vec Vb = (b[Sb + 1] - Pb) / Lb * T * LenB;
update(Pa, Pb, Pb + Vb - Va);
Pa = Pa + Va;
Pb = Pb + Vb;
if (Pa == a[Sa + 1]) Sa++;
if (Pb == b[Sb + 1]) Sb++;
}
printf("Case %d: %.0f\n", kase++, Max - Min);
}
}
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