欧拉函数

定义

$\phi(n)$: 小于n的正整数中与n互质的个数$(\phi(1) = 1)$

欧拉函数是积性函数

通式:$\phi(n) = x \prod^{n}_{i=1}(1 - \frac{1}{p_i})$

$p_i$为n的质因子

对于$n = p^k$,p为质数。 $\phi(n) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1} (p - 1)$

因为欧拉函数是积性函数

对于$n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}$, $\phi(n) = p_1^{k_1-1}(p_1-1)p_2^{k_2-1}(p_2-1)$

性质

  1. 若n为质数,则$\phi(n) = n-1$
  2. 一个数的质因子之和为$\frac{\phi(n) \times n}{2}$

模板

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// 求单个Eular函数
map<ll, ll> Eular; //记忆化
ll eular(ll n) {
ll &ret = Eular[n];
if (ret) return ret;
ret = n;
for (ll i = 2; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) {
ret -= ret / i;
while (n % i == 0) n /= i;
}
}
if (n > 1) ret -= ret / n;
return ret;
}

// 线性筛 (同时得到欧拉函数和素数表)
const int maxn = 1e7 + 5;
bool vis[maxn];
int prime[maxn], phi[maxn];
void init() {
clr(vis, 0);
phi[1] = 1;
int tot = 0;
for (int i = 2; i < maxn; i++) {
if (!vis[i]) {
prime[tot++] = i;
phi[i] = i - 1;
}
for (int k = 0; k < tot && 1LL * i * prime[k] < maxn; k++) {
vis[i * prime[k]] = 1;
if (i % prime[k] == 0) {
phi[i * prime[k]] = phi[i] * prime[k];
break;
}
phi[i * prime[k]] = phi[i] * (prime[k] - 1);
}
}
}

// 打表 (太慢了不要用)
const maxn = 1e6 + 5;
void getEular() {
clr(eular, 0);
eular[1] = 1;
for (ll i = 2; i < maxn; i++) {
if (!eular[i])
for (ll k = i; k < maxn; k += i) {
if (!eular[k]) eular[k] = k;
eular[k] = eular[k] / i * (i - 1);
}
}
}
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