主席树

主席树

也称可持久化线段树,即支持版本回退。

对于单点更新的线段树,每次更新操作实际上只会更新一条链,即logn个点。

如果将一次更新看做一个新的版本,那么每一个版本只会增加logn个节点。 这样我们就不需要每次重新建一棵线段树,直接利用那些没有更改的点就好。

因此,我们只需要记录每个版本的根节点即可完成历史查询的操作。

当然,这里的版本回退可以有多种理解。 它实际上是一种限制条件。

  • 像普通线段树求带修改的区间和,那么想知道第几次修改后的某一区间和,就需要可持久化线段树了。
  • 像普通权值线段树求只能求全局第k大,想求区间第k大的话就需要可持久化线段树来解决”区间”这个限制了。

再说一下关于空间的问题

因为每次更新都会增加logn个节点,所以开多大空间就要看有多少个版本了。
假设版本数为Q, 那 maxn + Q * logQ 应该够了

再说一下关于区间更新的问题

区间更新中,lazy标记是不会下放的。 (留给读者自行思考

sum[k] 维护的是其所覆盖区间的和(加上lazy之后的

但因为查询是自顶向下的,所以query的时候要记得加上每一层的懒惰标记。

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const int maxn = 100;
const int N = maxn + Qlog(n);
int root[maxn]; // 记录每个版本的根节点
int sum[N], lch[N], rch[N];
int dfn = 0;

// 单点修改,区间查询
inline void pushup(int rt) { sum[rt] = sum[lch[rt]] + sum[rch[rt]]; }
void build(int &k, int l, int r) {
k = ++dfn;
if (l == r) {
sum[k] = a[l];
return;
}
int m = l + r >> 1;
build(lch[k], l, m);
build(rch[k], m + 1, r);
pushup(k);
}

void newnode(int old, int k) {
lch[k] = lch[old];
rch[k] = rch[old];
sum[k] = sum[old];
}
void update(int old, int &k, int l, int r, int p, int x) {
k = ++dfn;
newnode(old, k);
if (l == r) {
sum[k] += x;
return;
}
int m = l + r >> 1;
if (p <= m) update(lch[old], lch[k], l, m, p, x);
if (p > m) update(rch[old], rch[k], m + 1, r, p, x);
pushup(k);
}

int query(int k, int l, int r, int L, int R) {
if (L <= l && R >= r) return sum[k];
int m = l + r >> 1;
int ret = 0;
if(m >= L) ret += query(lch[k],l,m,L,R);
if(m < R) ret += query(rch[k],m+1,r,L,R);
return ret;
}

// 区间更新 区间查询
int lazy[N];

inline void pushup(int rt, int len) {
sum[rt] = sum[lch[rt]] + sum[rch[rt]] + len * lazy[sum];
}
void build(int &k, int l, int r) {
k = ++dfn;
lazy[k] = 0;
if (l == r) {
cin >> sum[k];
return;
}
int m = l + r >> 1;
build(lch[k], l, m);
build(rch[k], m + 1, r);
pushup(k, r - l + 1);
}

inline void newnode(int old, int k) {
lch[k] = lch[old];
rch[k] = rch[old];
sum[k] = sum[old];
lazy[k] = lazy[old];
}
void update(int old, int &k, int l, int r, int L, int R, int x) {
k = ++dfn;
newnode(old, k);
if (L <= l && R >= r) {
sum[k] += x * (r - l + 1);
lazy[k] += x;
return;
}
int m = l + r >> 1;
if (m >= L) update(lch[old], lch[k], l, m, L, R, x);
if (m < R) update(rch[old], rch[k], m + 1, r, L, R, x);
pushup(k, r - l + 1);
}

int query(int k, int l, int r, int L, int R, int x) {
if (L <= l && R >= r) return sum[k] + x * (r - l + 1);
x += lazy[k];
int m = l + r >> 1;
int ret = 0;
if(m >= L) ret += query(lch[k],l,m,L,R,x);
if(m < R) ret += query(rch[k],m+1,r,L,R,x);
return ret;
}
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