1+2=3?

题意

来源:shuoj511

x⊕2x=3x

求满足上述条件的第N个数字。(保证最后结果在longlong范围内)

$N≤10^{12}$

分析

数位dp + 二分

二分最后答案,然后数位dp去找小于等于二分答案的满足要求的数的数量。

数位dp + 模拟

满足上述条件的数字,其二进制表示下,一定是没有“11”出现的。

所以我们可以小小的数位dp一下。

$dp[i][k]$ 表示数位长度为i的,最高位(第i位)为k的,满足条件的数的数量。

接下来就是超级无敌爆炸讨厌的模拟过程。

先找最高位的1在哪里,这里需要预处理前缀和.

然后从最高位的1后面开始枚举,如果前一位为1,那么当前位必为0,直接转移就可以。
如果前一位为0,那么当前位可以为0,也可以为1。 所以先看看当前位为0的话总共会有多少种情况,如果大于等于n,则当前位为0,否则当前位为1,并且要减去这个情况的数量。然后继续找下一位。

代码

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// ybmj
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define clr(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
#define pb(x) push_back(x)
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int NINF = 0xc0c0c0c0;
typedef long long ll;
ll dp[65][2]; // dp[i][k] i长度的数字,最高位为k,一共有多少中满足条件情况。
int num[100];

ll dfs(int pos, bool limit, bool lead, int sta) {
if (pos == -1) return !lead;
if (!limit && !lead && dp[pos][sta] != -1) return dp[pos][sta];
int up = limit ? num[pos] : 1;
ll ans = 0;
for (int i = 0; i <= up; i++) {
if (i && sta) continue;
ans += dfs(pos - 1, limit && i == up, lead && i == 0, i);
}
if (!limit && !lead) dp[pos][sta] = ans;
return ans;
}

ll solve(ll n) {
int pos = 0;
while (n) {
num[pos++] = n % 2;
n >>= 1;
}
return dfs(pos - 1, true, true, 0);
}

void work(ll n) {
ll l = 1, r = 1e18;
ll ans;
while (l <= r) {
ll mid = (l + r) >> 1;
if (solve(mid) >= n) {
r = mid - 1;
ans = mid;
} else
l = mid + 1;
}
cout << ans << endl;
}

int main() {
/*
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("1.in","r",stdin);
freopen("1.out","w",stdout);
#endif
*/
std::ios::sync_with_stdio(false);
clr(dp, -1);
int T;
cin >> T;
while (T--) {
ll n;
cin >> n;
work(n);
}
}
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// ybmj
// I hate this problem!!!
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define clr(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
#define pb(x) push_back(x)
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int NINF = 0xc0c0c0c0;
typedef long long ll;
ll dp[65][2]; // dp[i][k] i长度的数字,最高位为k,一共有多少中满足条件情况。
ll pre[65]; // pre[i] dp的前缀和,长度最多为i的数字,一共有多少种满足条件的情况
ll P[65]; // 预处理2的幂次

ll dfs(int pos, bool lead, int sta) {
if (pos == -1) return !lead;
if (!lead && dp[pos][sta] != -1) return dp[pos][sta];
ll ans = 0;

if (lead && sta == 0)
ans += dfs(pos - 1, true, 0);
else if (sta == 0 && pos != 0) {
ans += dfs(pos - 1, false, 0);
ans += dfs(pos - 1, false, 1);
} else if (sta == 1)
ans += dfs(pos - 1, false, 0);

if (!lead) dp[pos][sta] = ans;
return ans;
}

void work(ll n) {
int pos = -1;
vector<ll> ans;
for (int i = 61; i >= 0; i--) {
if (n > pre[i]) {
pos = i;
n -= pre[i];
ans.pb(1);
break;
}
}
for (int i = pos; i >= 0; i--) {
if (ans[ans.size() - 1] == 1) {
ans.pb(0);
} else {
if (n <= dp[i][0]) {
ans.pb(0);
} else {
n -= dp[i][0];
ans.pb(1);
}
}
}
ll ret = 0;
for (int i = ans.size() - 1; i >= 0; i--) {
ret += ans[i] * P[ans.size() - 1 - i];
}
cout << ret << endl;
}
void init() {
clr(dp, -1);
dp[0][0] = 1;
dfs(63, true, 1);
pre[0] = dp[0][1];
for (int i = 1; i < 62; i++) {
pre[i] = pre[i - 1] + dp[i][1];
}
P[0] = 1;
for (int i = 1; i < 63; i++) {
P[i] = P[i - 1] * 2LL;
}
}

int main() {
/*
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("1.in","r",stdin);
freopen("1.out","w",stdout);
#endif
*/
std::ios::sync_with_stdio(false);
init();
int T;
cin >> T;
while (T--) {
ll n;
cin >> n;
if (n == 1) {
cout << 1 << endl;
continue;
}
work(n);
}
}
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